2024-2025学年（上）包头市九年级质量检测数学

1、如果3是方程x²-2x+k=0的一个根，则常数k的值为（  ）

A. 3 B. -3 C. 0 D. 1

2、已知二次函数y＝ax2+2ax+a2+3（其中x是自变量），当x≤﹣2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为5，则a的值为（　　）

A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.或﹣

3、若代数式和的值互为相反数，则x的值为（ ）

A．1或3

B．-1或-3

C．1或-1

D．3或-3

4、小明抛一枚质地均匀的硬币，连续抛3次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第4次，那么硬币正面朝上的概率为( )

A.1 B. C. D.

5、关于x的方程x2+mx﹣1=0（m＞0）有一个根为x0，则x0的范围可能是（　　）

A. ﹣1＜x0＜0   B. x0＞0   C. 0＜x0＜1   D. x0＞1

6、若线段的长是，点C在线段上，且，则线段的值为（ ）

A．11∶14

B．14∶11

C．5∶22

D．28∶5

7、下列方程是一元二次方程的是（       ）

A．

B．

C．

D．

8、如图所示的两个五边形相似，则以下，，，的值错误的是（       ）

A．

B．

C．

D．

9、在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（   ）

A．不变

B．扩大5倍

C．缩小5倍

D．不能确定

10、抛物线与在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（　　）

A．顶点坐标相同

B．对称轴相同

C．开口方向相反

D．都有最小值

11、如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……若点，，则点的坐标为________．

12、抛物线的顶点在轴上，点的坐标如图所示，则一元二次方程的根是________．

13、抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的解析式为____．

14、一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．

15、如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是______度

16、如果m是从1、2、3三个数中任取得一个数，n是2、3两个数中任取得一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为 ___．

17、为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则

（x2﹣1）=y2，原方程化为y2﹣5y+4=0．①

解得y1=1，y2=4

当y=1时，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=±；

当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．

∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣

解答问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降次的目的，体现了　 　的数学思想．

（2）解方程：x4﹣x2﹣6=0．

18、已知抛物线C1：y＝ax2+bx+b2向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2.

（1）直接写出抛物线C1的解析式；

（2）如图1，已知抛物线C1交x轴于点A、点B，点A在点B的左侧，点P（2，t）在抛物线C1上，CB⊥PB交抛物线于点C，求C点的坐标；

（3）已知点E、点M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M、N的横坐标分别为m、n，求m和n的数量关系（用含m的式子表示n）

19、已知反比例函数与一次函数的图象如图所示．

(1)求点的坐标；

(2)请直接写出时，的取值范围．

20、综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，在四边形ABCD中，，E是线段BD上一点，，，求证：．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，老师提出新问题：请同学们通过观察和度量，判断AE、BE和BC存在怎样的数量关系，并请你解答．

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，再给出等腰中边一角，则图2中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．

“如图2，若，，，求ED的长．”

21、已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题

(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；

(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；

(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．

22、材料一：已知N为一个四位自然数，若N满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称N为“等和数”．

材料二：对于一个“等和数”N，将N的百位数字记为n，千位与百位上的数字之和与十位土的数字的积记为k，令．

例如：当N=2312时，∵2=2且3=1+2，∴2312是“等和数”：此时，n=3，k=（2+3）×1=5，；

当N=4524时，∵4=4但，∴4524不是“等和数”．

(1)请判断3543，1211是否是“等和数”，并说明理由；如果是，请求出对应的的值；

(2)若一个数是某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．己知N是个位上的数字小于十位上的数字的“等和数，将N的各个数位上的数字之和记为，若为完全平方数，求N的所有可能值．

23、已知抛物线，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．

（1）求证：抛物线与x轴必有公共点；

（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求的面积；

（3）若线段与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．

24、如图，在△中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，设运动时间为秒

（1）当为何值时，．

（2）当为何值时，∥．

（3）△能否与△相似？若能，求出的值；若不能，请说明理由．