内江2025学年度第一学期期末教学质量检测高二数学

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知三棱锥外接球的表面积为，，，直线与平面所成角为，则等于（）

A.1 B.2 C.3 D.4

2、已知，，，则的大小关系是（）

A. B. C. D.

3、设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）

A. B.

C. D.与的大小关系不能确定

4、已知向量满足，则等于（）

A．

B．

C．

D．

5、如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，且，则

A．

B．

C．

D．

6、已知某简谐振动的振动方程是，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）

A．0.125Hz

B．0.25Hz

C．0.4Hz

D．0.5Hz

7、下列函数中，满足性质“对，当时，都有”的函数是（）

A. B. C. D.

8、设.则的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．

9、我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A、B、C所对的变分别为a、b、c，面积为S，则“三斜公式”为S=，若，B=,则用“三斜公式”求得△ABC的面积为

A. B. C. D.

10、已知，，，则（）

A．

B．

C．

D．

11、如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（）

A．

B．

C．

D．

12、某中学高二年级在期中考试之后为了了解学生学习物理的情况，抽取了名成绩在分(满分为分)之间的学生进行调查，将这名学生的成绩分成了六段：，，，，，，绘成频率分布直方图，如图所示.从成绩在的学生中任抽取人，则成绩在间的学生恰好有一人的概率为（）

A．

B．

C．

D．

13、函数与的图象有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）

A．

B．

C．或

D．或

14、已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是

A．

B．

C．

D．

15、某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额	折扣率
不超过500元的部分
超过500元的部分

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为　　

A．1500元

B．1550元

C．1750元

D．1800元

16、已知，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

17、小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为（）

A．

B．

C．

D．

18、已知函数，若，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

19、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

A．①②

B．②③

C．①④

D．②④

20、设满足约束条件，则的最大值为( )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 6

二、填空题（共6题，共 30分）

21、曲线在点（1，0）处的切线方程为 _______．

22、已知函数，则不等式的解集为____.

23、复数，则复数的模等于__________．

24、在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠______日可相逢.

25、已知等差数列满足，，则数列的前10项的和等于___________.

26、若倾斜角为的直线与曲线相切于点,则_____.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、为了了解居民的家庭收入情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了户家庭进行问卷调查，经调查发现,这些家庭的月收人在元到元之间,根据统计数据作出:

（1）经统计发现,该社区居民的家庭月收人(单位:百元)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数.若落在区间的左侧,则可认为该家庭属“收入较低家庭" ,社区将联系该家庭,咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区家庭月收入为元，试判断家庭是否属于“收人较低家庭”,并说明原因;

（2）将样本的频率视为总体的概率

①从该社区所有家庭中随机抽取户家庭,若这户家庭月收人均低于元的概率不小于,求的最大值;

②在①的条件下,某生活超市赞助了该社区的这次调查活动,并为这次参与调在的家庭制定了贈送购物卡的活动,贈送方式为:家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡,家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡;每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为:

赠送购物卡金额(单位:元)
概率

则家庭预期获得的购物卡金额为多少元?(结果保留整数)

28、皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．

(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；

(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；

(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y与时间：如下表：（第1天用数字1表示）

时间（t）	1	2	3	4	5	6	7
合格作品数（y）	3	4	3	4	7	6	8

其中合格作品数（y）与时间（t）具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？

（参考公式，，参考数据：）．

29、杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．

(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；

(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？

30、已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且.