2025-2026学年香港高一(上)期末试卷数学

一、选择题（共20题，共 100分）

1、四面体的四个顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的体积为（）

A. B. C. D.

2、若复数满足，其中为虚数单位，则（）

A．1

B．

C．2

D．

3、已知数列的前项和为,且,在等差数列中,,且公差.使得成立的最小正整数为

A．2

B．3

C．4

D．5

4、已知函数，现将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）

A．

B．

C．

D．

5、在下列函数中，最小值为2的是（）

A．

B．

C．

D．

6、已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A. B. C. D.

7、已知是空间不同的三条直线，则下列四个命题正确的是( )

① ②

③ ④

A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ①③④

8、若等差数列满足，且，求的取值范围（）

A. B. C. D.

9、已知（其中为虚数单位），则的虚部为（）

A．

B．

C．2

D．2

10、下列不等式错误的是（）

A. B. C. D.

11、已知集合，，则（）

A. B. C. D.

12、将方程的实数根称为函数的“新驻点”.记函数的“新驻点”分别为，则（）

A．

B．

C．

D．

13、四棱锥的底面为正方形，底面，，，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A. B. C. D.

14、已知等比数列的各项均为正数，，则的最小值为（）

A. B. C.10 D.20

15、若复数（为虚数单位）的虚部为（）

A. B. C. D.

16、命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

17、若复数满足（为虚数单位），则（）

A．

B．

C．

D．

18、已知命题；命题则下列命题中为真命题的是（）

A．

B．

C．

D．

19、函数的图象大致是（）

A. B.

C. D.

20、在中,则在方向上的投影为（）．

A．4

B．3

C．-4

D．5

二、填空题（共6题，共 30分）

21、已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．

22、各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的值为______．

23、已知单位向量，满足，则，夹角的余弦值为__________．

24、公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值为方程的正根，这一数值也可以表示为，则______.

25、已知数列､､的通项公式分别为､､，其中，，，令（表示､､三者中的最大值），则对于任意，的最小值为___________

26、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若在区间内恒成立，求实数的取值范围．

28、某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县统计了100名基层干部走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，统计结果见下表.

走访数量区间	频数	频率
		b
	10
	38
	a	0.27
	9
总计	100	1.00

（1）求a与b的值；

（2）根据表中数据，估计这100名基层干部走访数量的中位数（精确到个位）；

（3）如果把走访贫困户不少于35户视为“工作出色”，按照分层抽样，从“工作出色”的基层干部中抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求其中有1人走访贫困户不少于45户的概率.

29、已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、.比赛规则如下：第一场为双打（对阵）、第二场为单打（对阵）、第三场为单打（对阵）、第四场为单打（对阵）、第五场为单打（对阵）.已知双打比赛中获胜的概率是，单打比赛中、、分别对阵、、时，、、获胜的概率如下表：